Yksikäsitteinen ratkaisu

> Millä a:n arvolla yhtälöryhmällä
> ax 3y 2z=5 and x 2y-z=3 and 5x-2y 2z=2
> ei ole yksikäsitteistä ratkaisua?

(Lineaarisella) yhtälöryhmällä Ax=b ei ole yksikäsitteistä ratkaisua, jos sen kerroinmatriisi A on singulaarinen, ts. jos det(A) = 0.

Tässä kerroinmatriisi
A = [[a 3 2] [1 2 -1] [5 -2 2]]

Kun muodostat tuon matriisin determinantin lausekkeen ja merkkaat sen nollaksi, saat yhtälöstä ratkaistua a:n. Sarrus'n säännöllä menee todella helposti.

> Kuka tajuaa tämän?

Minä! (Ja varmaan kaikki muutkin matriisilaskennan tai lineaarialgebran perusteet osaavat henkilöt.)

> Ja miten se lasketaan :(

Kaipa se ilman matriisialgebraakin onnistuu, mutta varmaan huomattavasti hankalammin.

Koska on kyse ylimäärätystä ryhmästä, eli riippumattomia yhtälöitä on enemmän kuin tuntemattomia, niin ongelmalle ei ole yksikäsitteistä ratkaisua.

Pienimmän neliösumman menetelmä on kaikkein helpoin matriisimuodossa eli kun merkitään

A=[[2,3][1,2][5,-2]], X=[[x][y]], B=[[5][3][2]].

Nyt yhtälö voidaan lausua matriisimuodossa

A*X=B.

Tämä saadaan neliömäiseksi kertomalla molemmat puolet A:n transponentilla A':lla eli

A´*A*X=A'*B.

Nyt yhtälö on neliömäinen 2x2-matriisiyhtälö, joka on helppo ratkaista X:n suhteen.

Sen kysymyksen, että on kyse pienimmän neliösumman menetelmästä, jätän täysin matemaatikkojen todistettavaksi.