Pisteen etäisyys

Voit varmaankin olettaa, että avaruutena taso. Siten jokaisen suoran yhtälö on muotoa x ay b=0 tai ay b=0, missä a ja b ovat vakioita. Käytä pisteen etäisyys suorasta -kaavaa muodostamalla yhtälö, joka kertoo jotakin a:n ja b:n suhteesta. Sijoita sitten (x,y)=(-1,-2) yhtälöihin x ay b=0 ja ay b=0. Nyt yhtälöparista pitäisi a:n ja b:n ratketa.

Lausutaan suora ns. suuntakosinien avulla eli

nx*x ny*y - p = 0.

Jotta suora kulkisi pisteen (x0, y0) kautta, tulee pisteen toteuttaa suoran yhtälö eli

nx*x0 ny*y0 - p = 0.

Jotta pisteen (xp,yp) etäisyys suorasta olisi taas d:n suuruinen, tämä edellyttää, että

nx*xp ny*yp - p = d.

Jotta nx ja ny olisivat suuntakosineita, niiden tulee täyttää normaaliusehto

nx^2 ny^2 = 1.

Näin meillä on kolme yhtälöä, joista voidaan ratkaista kolme tuntematonta eli nx, ny ja p.

Ratkaisusta tulee toisen asteen polynomi, jolla on kaksi juurta. Nämä vastaavat suoria, jotka kulkevat pisteen (xp, yp) kummaltakin puolelta.